A propriedade associativa é um conceito matemático que descreve a forma como os elementos de uma operação podem ser agrupados sem alterar o resultado final. Nessa propriedade, quando se juntam as parcelas de uma expressão, não importa em qual ordem elas são somadas ou multiplicadas, pois o resultado será sempre o mesmo. Essa característica fundamental da matemática é amplamente utilizada em diversos contextos e pode simplificar cálculos e demonstrações.

Propriedade do fechamento da adição: a junção das parcelas

Conhecer as características da adição é fundamental para realizar cálculos envolvendo essa operação.

Quando dizemos que uma operação é fechada em um conjunto, significa que ao realizar essa operação com dois números desse conjunto, o resultado também pertencerá a esse mesmo conjunto. Por exemplo, se considerarmos dois números naturais e realizarmos a adição entre eles, sempre obteremos como resultado outro número natural. Vejamos um exemplo:

No conjunto dos números naturais, quando somamos dois números naturais, o resultado também é um número natural. Isso significa que a operação de adição é fechada nesse conjunto.

Comutatividade da adição na propriedade

A propriedade comutativa, como o próprio nome sugere, nos assegura que a ordem das parcelas não afeta o resultado da adição. Isso significa que podemos somar os números em qualquer ordem e ainda obteremos o mesmo resultado.

Observe que, não importa a sequência em que as etapas são realizadas, o resultado permanecerá constante.

A regra da propriedade associativa: qual é?

A propriedade associativa é uma regra matemática que nos diz que a ordem em que agrupamos os números em uma multiplicação não afeta o resultado final. Por exemplo, se tivermos a expressão 2 x (3 x 4), podemos primeiro multiplicar 3 por 4 para obter 12 e depois multiplicar esse resultado por 2, obtendo um produto de 24. Da mesma forma, se invertermos a ordem dos parênteses e fizermos (2 x 3) x 4, ainda chegaremos ao mesmo resultado de 24.

Essa propriedade pode ser aplicada em diferentes situações matemáticas. Por exemplo, quando temos várias parcelas para somar ou subtrair dentro de parênteses, podemos agrupá-las de qualquer maneira sem alterar o valor total da expressão. Isso facilita os cálculos e permite simplificar as operações.

Propriedade Associativa da Adição: A junção das parcelas

A propriedade associativa permite realizar uma soma independentemente da ordem em que as adições são feitas. Isso significa que, ao somar um conjunto de números, podemos agrupá-los de diferentes maneiras sem alterar o resultado final.

Quando nos deparamos com expressões numéricas, é importante lembrar que devemos resolver primeiro os parênteses. No entanto, quando a operação envolvida é apenas a adição, podemos ignorar essa ordem. Vejamos:

Consequentemente, a soma de (6 + 3) + 7 é igual à soma de 6 + (3 + 7), resultando em um total de 16.

Conta Associativa: Como ela funciona?

A propriedade associativa da adição diz que, quando somamos três números, a ordem em que os agrupamos não altera o resultado final. Por exemplo, se tivermos as parcelas 2, 3 e 4, podemos primeiro somar 2 com 3 e depois somar o resultado com 4: (2 + 3) + 4. Ou então podemos primeiro somar 3 com 4 e depois somar o resultado com 2:‍‍‍‍ ‌‌(3 + ‌‌4) + ‌‌2. Em ambos os casos, obteremos o mesmo valor.

Já a propriedade do elemento neutro da adição afirma que ao adicionarmos zero a qualquer número, esse número permanece inalterado. Por exemplo, se tivermos a soma de zero mais quatro: ‌0 + ‌‌4 = ‌‌4. Isso ocorre porque zero é chamado de elemento neutro da adição pois não altera o valor dos outros números envolvidos na operação.

Essas duas propriedades são importantes para facilitar cálculos matemáticos e garantir que possamos agrupar as parcelas de uma forma conveniente sem mudar seu valor total.

Associatividade na Propriedade da Adição: A Junção das Parcelas

A adição, assim como as outras operações matemáticas, tem um elemento neutro. Isso significa que existe um número especial que, quando adicionado a qualquer outro número, resulta no próprio número. Esse elemento neutro na adição é o zero. Portanto, ao somar qualquer número com zero, o resultado será igual ao próprio número.

A propriedade da soma que não muda com a ordem das parcelas

A propriedade comutativa é uma regra matemática que se aplica à adição de dois números. Essa propriedade afirma que a ordem em que as parcelas são somadas não altera o resultado da soma. Em outras palavras, podemos trocar a posição dos números e ainda obteremos o mesmo valor final.

Por exemplo, se tivermos os números 3 e 5 e quisermos somá-los, tanto faz começar pela parcela 3 ou pela parcela 5. Se começarmos com o número 3 e adicionarmos o número 5, teremos como resultado o número 8. Agora, se invertermos a ordem e começarmos com o número 5 para depois adicionar o número 3, também chegaremos ao mesmo resultado: novamente teremos como resposta o número 8.

Essa propriedade pode ser aplicada em diversas situações práticas do dia a dia. Por exemplo, quando vamos calcular quanto dinheiro temos após fazer duas compras separadas no supermercado: R$10 na primeira compra e R$20 na segunda compra. Podemos somar esses valores de qualquer forma: primeiro R$10 mais R$20 ou primeiro R$20 mais R$10 – ambos os cálculos nos darão um total de R$30.

Outro exemplo seria quando estamos organizando uma lista de convidados para uma festa. Se tivermos dois grupos diferentes de pessoas para convidar – grupo A com três pessoas (Alice, Bob e Carol) e grupo B com quatro pessoas (David, Emily, Fredo e Gabriela), independente da ordem em que adicionamos esses grupos à nossa lista final de convidados (grupo A seguido por grupo B ou vice-versa), sempre teremos um total de sete pessoas na festa.

Exercícios resolvidos: A união das parcelas na propriedade associativa

1. Indique o número e a propriedade que satisfazem cada um dos itens a seguir.

A propriedade que atende à igualdade é aquela do elemento neutro. Ao somar o elemento neutro a qualquer número, a operação resulta no próprio número.

Uma propriedade importante que podemos utilizar é a comutatividade, que nos permite trocar a ordem das parcelas sem alterar o resultado.

A propriedade associativa permite que os parênteses sejam rearranjados sem alterar o resultado.

A propriedade associativa aplicada às adições

A propriedade associativa da adição é uma regra matemática que nos diz que podemos agrupar as parcelas de uma soma de diferentes maneiras, sem alterar o resultado final. Isso significa que a ordem em que somamos os números não importa.

Por exemplo, se tivermos a soma 2 + 3 + 4, podemos primeiro somar os números 2 e 3 para obter o resultado parcial de 5. Depois, podemos somar esse resultado com o número 4 e chegaremos ao mesmo valor final: 9.

Essa propriedade é muito útil quando temos várias parcelas para serem somadas, pois nos permite simplificar os cálculos e facilitar nosso trabalho.

Propriedades da multiplicação associativa

A propriedade associativa da multiplicação afirma que a ordem em que os números são agrupados não altera o resultado do produto. Isso significa que, ao multiplicar três ou mais números, podemos escolher diferentes formas de agrupá-los sem mudar o valor final.

Por exemplo, se tivermos os números 2, 3 e 4 e quisermos multiplicá-los juntos, podemos primeiro multiplicar 2 por 3 (que resulta em 6) e depois multiplicar esse resultado por 4 (obtendo um total de 24). Da mesma forma, poderíamos ter começado multiplicando primeiro os números 3 e 4 (resultando em um produto de12) e depois multiplica-lo pelo número restante – no caso o número dois – obtendo novamente o mesmo resultado final de24.

Já a propriedade distributiva da multiplicação nos permite distribuir uma operação de multiplicação sobre uma soma. Em outras palavras, quando temos um número sendo somado com outros dois dentro dos parênteses e queremos realizar a operação de multiplicação com todos eles juntos fora dos parênteses.

A multiplicação tem propriedade associativa?

A propriedade associativa é uma importante regra matemática que nos permite multiplicar três ou mais números de maneiras diferentes e mais convenientes. De acordo com essa propriedade, podemos agrupar os fatores de forma diferente sem alterar o resultado final da multiplicação.

Por exemplo, se tivermos a expressão matemática 2 x 3 x 4, podemos associar os fatores de duas maneiras distintas: (2 x 3) x 4 ou 2 x (3 x 4). Independentemente da forma como agrupamos os números, o resultado será sempre o mesmo: igual a 24.

Essa propriedade é extremamente útil em cálculos envolvendo múltiplas operações de multiplicação. Ao aplicá-la corretamente, podemos simplificar as expressões e torná-las mais fáceis de serem resolvidas.

P.S.: A propriedade associativa também pode ser aplicada em outras operações matemáticas além da multiplicação, como adição e subtração. Ela nos permite rearranjar os termos para facilitar a resolução dos problemas e obter resultados equivalentes.