Resposta verificada por especialistas O perímetro do triângulo ABC , no plano cartesiano , é igual a 24 centímetros, obtido somando os comprimentos de seus lados. Portanto, a resposta correta é d) 24 cm.

Questão 1

Para calcular a distância entre dois pontos, como A (-2,3) e B (1,-3), é necessário utilizar uma fórmula específica. Essa fórmula leva em consideração as coordenadas dos pontos para determinar a distância euclidiana entre eles.

Para solucionar esse problema, é possível utilizar uma fórmula que permite calcular a distância entre dois pontos. Essa fórmula pode ser aplicada para determinar a distância exata entre esses pontos específicos.

Realizamos a substituição dos valores na fórmula e efetuamos o cálculo da distância.

A raiz quadrada de 45 não é um número inteiro, o que significa que não podemos obter uma resposta exata ao realizar a operação. É necessário continuar realizando a radiciação até chegarmos a um ponto em que não seja mais possível extrair nenhum número da raiz.

Razão do perímetro dos triângulos

Os triângulos possuem uma propriedade interessante: o perímetro de um triângulo é a soma dos seus três lados. Isso significa que se conhecermos os comprimentos dos três lados de um triângulo, podemos calcular facilmente o seu perímetro somando esses valores.

Além disso, existe outra propriedade relacionada à semelhança entre dois triângulos. Se dois triângulos forem semelhantes e tiverem uma razão de semelhança k, então a razão entre os seus perímetros será igual a k também.

Para entender melhor essa relação, vamos considerar um exemplo prático. Suponha que temos dois triângulos ABC e DEF. Se esses dois triângulos são semelhantes com uma razão de 2 (ou seja, todos os lados do segundo triângulo têm o dobro do tamanho em relação ao primeiro), então podemos afirmar que o perímetro do segundo triângulo será duas vezes maior que o perímetro do primeiro.

Isso ocorre porque cada lado do segundo triangulo é duas vezes maior em comparação ao primeiro triangulo e como o perimetro é calculado pela soma dos tres lados no caso desse exemplo teremos:

Perímetro(A) = AB + BC + AC

Logo:

Essa propriedade pode ser útil para resolver problemas envolvendo figuras geométricas ou até mesmo na construção civil, onde conhecendo as medidas proporcionais das partes de um objeto, podemos determinar o perímetro total.

Definição de um triângulo ABC

Uma maneira prática de visualizar isso é imaginar três canetas colocadas sobre uma mesa. Pegue duas das canetas e coloque-as lado a lado, deixando-as inclinadas para cima. Em seguida, pegue a terceira caneta e coloque-a ao lado das outras duas, também inclinada para cima. Os pontos onde as canetas se encontram representam os vértices do triângulo e as próprias canetas são os lados.

Outra definição importante é que os pontos A, B e C que formam o triângulo não podem estar alinhados em uma mesma reta (colineares). Isso significa que eles precisam estar dispostos de forma a criar uma figura com ângulos internos distintos.

Para entender melhor essa ideia dos pontos não estarem alinhados, imagine novamente as canetas na mesa. Agora escolha dois pontos quaisquer sobre ela e trace uma linha reta ligando-os. Em seguida escolha mais um ponto qualquer da mesa e tente traçar outra linha reta passando por ele e pelos outros dois pontos já conectados pela primeira linha traçada anteriormente. Se você conseguir traçar essa segunda linha sem desviar dos primeiros dois pontos já conectados pela primeira linha então esses três pontos estão alinhados (colineares) e não podem formar um triângulo.

Portanto, para que três segmentos de reta formem um triângulo é necessário que eles sejam concorrentes entre si em três pontos diferentes e que os pontos não estejam alinhados em uma mesma reta.

O Perímetro do Triângulo ABC no Plano Cartesiano

No plano cartesiano existem os pontos D (3,2) e C (6,4). Calcule a distância entre D e C.

Se considerarmos os valores de e , é possível utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo DCP.

Ao inserir os valores das coordenadas na equação, obtemos o resultado que representa a distância entre os pontos.

Cálculo do perímetro do triângulo ABC

O perímetro de um triângulo é a soma dos comprimentos de todos os seus lados. Um triângulo é uma figura plana fechada que possui três lados. Portanto, para calcular o perímetro do triângulo, basta somar as medidas dos três lados.

Para calcular o perímetro do triângulo:

1. Meça o comprimento do primeiro lado.

2. Meça o comprimento do segundo lado.

3. Meça o comprimento do terceiro lado.

4. Some os três valores obtidos.

Lembre-se de utilizar a mesma unidade de medida para todos os lados ao realizar a soma e obter corretamente o valor do perímetro total da figura triangular.

Calculando o perímetro usando coordenadas

O perímetro de um polígono é a soma de todos os seus lados. Para determinar o comprimento de cada lado, podemos utilizar as coordenadas do polígono e realizar cálculos simples. Por exemplo, se tivermos as coordenadas de um triângulo e encontrarmos os valores 3, 2 e 5 para seus lados, basta somá-los para obter o perímetro total igual a 10.

Uma dica prática para calcular o perímetro de um polígono é listar todas as coordenadas dos pontos que formam suas arestas. Em seguida, calcule a distância entre cada par consecutivo desses pontos utilizando fórmulas como a distância euclidiana ou usando teoremas geométricos específicos para cada tipo de polígono.

Por exemplo, considere um quadrado com vértices nas coordenadas (0,0), (0,4), (4,4) e (4,0). Podemos calcular o comprimento das quatro arestas somando as distâncias entre esses pares consecutivos:

Aresta AB: √((x2 – x1)^2 + (y2 – y1)^2) = √((0-0)^2 + (4-0)^2) = √(16) = 4

Aresta BC: √((x3 – x2)^2 + (y3 – y2)^2) = √((4-0)^2 + (4-4)^2) = √(16) = 4

Aresta CD: √((x4 – x3)^^+^+^^(y^^_^^_^^_^_^_^_^_)^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^-^-_-_-_-_2) = √((4-4)^2 + (0-4)^2) = √(16) = 4

Aresta DA: √((x1 – x4)^2 + (y1 – y4)^2) = √((0-4)^2 + (0-0)^^+^+^^(y^^_^^_^^_^_^_^_^_)^^^^^^^^^^^^^-^-_-_-_-_2) = √(16) = 4

Somando os comprimentos das quatro arestas, obtemos o perímetro total do quadrado igual a 16.

Portanto, ao utilizar as coordenadas dos pontos que formam um polígono e calcular as distâncias entre eles, podemos determinar facilmente o perímetro do polígono.

O perímetro do triângulo ABC no plano cartesiano

Para determinar o perímetro do triângulo ABC, é necessário utilizar as coordenadas de seus vértices. No caso deste triângulo em particular, os pontos A (3,3), B (-5,-6) e C (4,-2) são fornecidos. O perímetro pode ser calculado somando-se as distâncias entre esses pontos.

Primeiro, é necessário realizar o cálculo da distância entre os pontos A e B.

Seguindo para o segundo passo, é necessário realizar o cálculo da distância entre os pontos A e C.

Terceiro passo: Determinar a distância entre os pontos B e C.

O Perímetro do Triângulo ABC no Plano Cartesiano

Encontre as coordenadas do ponto médio entre os pontos A (4,3) e B (2,-1).

Ao aplicarmos a fórmula do ponto médio, conseguimos obter o valor da coordenada x.

A fórmula para calcular a coordenada y é aplicada de maneira semelhante.

Para calcular as coordenadas do vértice C de um triângulo com os pontos A (3, 1), B (-1, 2) e o baricentro G (6, -8), podemos usar a fórmula do baricentro. O baricentro é o ponto de encontro das medianas do triângulo.

A mediana divide cada lado do triângulo em duas partes iguais. Portanto, se traçarmos uma reta que passa pelo ponto médio de um lado até o vértice oposto, essa reta será uma mediana.

O baricentro é encontrado calculando-se a média aritmética das coordenadas x e y dos pontos A, B e C:

x = (x_A + x_B + x_C)/3

y = (y_A + y_B + y_C)/3

Substituindo os valores conhecidos na fórmula:

6 = (3 – 1 + x_C)/3

-8 = (1 + 2 + y_C)/3

Resolvendo essas equações para encontrar as coordenadas de C:

18 = 2 – x_C

-24 = 9 + y_C

Simplificando ainda mais:

x_C = -16

y_C = -33

O ponto de encontro das três medianas de um triângulo é conhecido como baricentro G (xG, yG). Suas coordenadas podem ser calculadas usando as fórmulas específicas.

Ao substituir os valores de x nas coordenadas, obtemos um conjunto de novos pontos.

Agora, realizamos o procedimento semelhante para os valores de y.

Assim, podemos observar que o ponto C está localizado nas coordenadas (16,-27).

O perímetro do triângulo ABC no plano cartesiano

Para determinar o valor de y nas coordenadas dos pontos colineares A (–2, y), B (4, 8) e C (1, 7), é necessário analisar a relação entre esses pontos.

Para que os três pontos estejam em uma linha reta, é preciso que o determinante da matriz a seguir seja igual a zero.

Para iniciar o processo, é necessário substituir os valores de x e y na matriz.

Seguindo o segundo passo, é necessário registrar os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.

No terceiro passo, é necessário realizar a multiplicação dos elementos presentes nas diagonais principais e, em seguida, somá-los.

No quarto passo, é necessário multiplicar os elementos das diagonais secundárias e inverter o sinal à frente deles.

No quinto passo, é necessário combinar os termos e resolver as operações de adição e subtração.

Assim, a condição para que os pontos estejam alinhados é que o valor de y seja igual a 6.

O perímetro do triângulo ABC no plano cartesiano

Calcule a medida da área do triângulo ABC, com os pontos A (2, 2), B (1, 3) e C (4, 6).

O cálculo da área de um triângulo pode ser feito utilizando o determinante.

No primeiro passo, é necessário trocar os valores das coordenadas na matriz.

Seguindo o segundo passo, é necessário registrar os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.

No terceiro passo, é necessário realizar a multiplicação dos elementos presentes nas diagonais principais e, em seguida, somá-los.

No quarto passo, é necessário realizar a multiplicação dos elementos presentes nas diagonais secundárias e inverter o sinal que está à frente deles.

Passo 5: Agrupar os termos e resolver as operações de adição e subtração.

O perímetro do triângulo ABC no plano cartesiano

Encontre a equação da circunferência com centro em C(2, 1) e raio r = 5, na forma reduzida e na forma normal.

A fórmula de uma circunferência reduzida é expressa da seguinte maneira:

Na fórmula, substituímos a e b pelas coordenadas do centro e r pelo valor do raio.

A equação da circunferência pode ser escrita na forma normal.

A fim de identificar a forma normal, é necessário realizar o processo de expansão dos quadrados.

Reorganizando os termos e movendo o número 25 para o lado esquerdo da equação.

O Perímetro do Triângulo ABC no Plano Cartesiano

Dado o enunciado da reta r: 5x + 2y – 4 =0, determine a equação do feixe de retas paralelas a r e também a equação da reta paralela a r que passa pelo ponto P(9, 2).

Para que duas retas sejam paralelas, é necessário que seus coeficientes de x e y estejam em proporção. O valor independente pode variar livremente.

Uma reta com equação geral 5x + 2y + c = 0, onde c é uma constante, é paralela à reta r.

Ao alterar o valor de c, podemos criar retas que são paralelas à reta r.

A fórmula para encontrar a equação de uma reta paralela à r e que passa pelo ponto P(9, 2) é:

Após encontrar o valor de c, é possível substituí-lo na equação que descreve um conjunto de retas paralelas à r:.

O perímetro do triângulo ABC no plano cartesiano

O ponto B = (3, b) está a uma distância igual dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Portanto, podemos concluir que o ponto B é:

Quando os pontos A e C estão à mesma distância do ponto B, isso significa que eles estão equidistantes. Isso implica que a distância entre AB é igual à distância entre CB. Para calcular essa distância, podemos usar a fórmula: [insira aqui a fórmula].

O próximo passo consiste em solucionar as raízes e determinar o valor de b.

O Perímetro do Triângulo ABC no Plano Cartesiano

O triângulo PQR, no plano cartesiano, tem seus vértices localizados nos pontos P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5). O objetivo é determinar se esse triângulo é equilátero.

A resposta correta é a opção b) um triângulo isósceles, mas não equilátero.

Primeiro, é necessário realizar o cálculo da distância entre os pontos P e Q.

No segundo passo, é necessário realizar o cálculo da distância entre os pontos P e R.

Terceiro passo: determinar a distância entre os pontos Q e R.

Incorreta. O triângulo equilátero apresenta os três lados com medidas iguais.

Está correto afirmar que o triângulo é isósceles quando dois lados possuem a mesma medida.

Incorreta. Um triângulo escaleno é caracterizado por ter os três lados com medidas diferentes.

Incorreta. O triângulo retângulo é caracterizado por possuir um ângulo de 90º.

Incorreta. O triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo maior do que 90º.

O Perímetro do Triângulo ABC no Plano Cartesiano

A fórmula que representa a reta que atravessa os pontos (3,3) e (6,6) é:

Vamos usar o ponto (3,3) como A e o ponto (6,6) como B para facilitar a compreensão.

Se considerarmos um ponto P (xP, yP) que pertence à reta AB, podemos afirmar que os pontos A, B e P estão alinhados na mesma linha reta. Além disso, a equação da reta pode ser determinada por: [insira aqui a fórmula da equação da reta].

A equação padrão de uma reta que passa pelos pontos A e B pode ser representada como ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes.

Ao substituir os elementos na matriz e realizar o cálculo do determinante, obtemos um valor específico.

Portanto, a equação x = y representa uma reta que atravessa os pontos (3,3) e (6,6).

O Perímetro do Triângulo ABC no Plano Cartesiano

(UEA 2018) O gráfico da reta y = mx + b, em que m e b são constantes reais, está representado em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

Assim, a representação correta do gráfico da reta y = –3mx + b pode ser encontrada na opção fornecida.

Primeiro passo: calcular os valores dos coeficientes m e b na equação fornecida.

Com base no gráfico, podemos observar que quando y é igual a zero, o valor de x é -3. Ao substituirmos esses valores na equação: [insira aqui a equação], obtemos um resultado específico.

Após obtermos os valores de b e m, podemos inseri-los na segunda equação fornecida.

Ao substituirmos os valores de m e b, conseguimos obter a equação correspondente.

Para encontrar a resposta, é necessário atribuir valores para as variáveis x e y.

A linha que atravessa esses dois pontos é a mesma representada pela alternativa d.

Sou um professor de Matemática com licenciatura, pós-graduação em Ensino da Matemática e Física, além de Estatística. Tenho experiência como professor desde 2006 e comecei a criar conteúdos educacionais online em 2021. Minha escrita é voltada para o público brasileiro.

Classificação do triângulo ABC

Um triângulo é uma figura geométrica formada por três segmentos de reta que se encontram em seus extremos, chamados vértices. Dependendo das medidas dos ângulos internos desse triângulo, ele pode ser classificado como acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Um triângulo é considerado acutângulo quando todos os seus ângulos são agudos, ou seja, possuem medida menor que 90 graus. Nesse tipo de triângulo, nenhum dos ângulos internos possui medida igual a 90 graus ou maior. Esses triângulos costumam ter lados mais alongados e pontiagudos.

Por outro lado, um triâ

Classificação do triângulo ABC

Existem diferentes maneiras de classificar os triângulos, sendo uma delas baseada nos ângulos internos. Nessa classificação, um triângulo pode ser considerado acutângulo quando todos os seus ângulos são agudos, ou seja, menores que 90 graus. Por outro lado, um triângulo é chamado de retângulo quando possui um ângulo interno reto exatamente igual a 90 graus. Já o termo obtusângulo é utilizado para descrever um triângulo que possui pelo menos um ângulo interno obtuso maior que 90 graus.

Outra forma de classificar os triângulos está relacionada com as medidas dos lados. Um triâ

Fórmula da área de um triângulo

A área de um triângulo é uma medida que nos diz quanto espaço ele ocupa em uma superfície plana. Para calcular a área, multiplicamos a base do triângulo pela altura e dividimos o resultado por dois. Essa fórmula funciona para qualquer tipo de triângulo, seja ele equilátero (com todos os lados iguais), isósceles (com dois lados iguais) ou escaleno (com todos os lados diferentes). No entanto, existem outras formas de calcular a área do triângulo dependendo dos dados fornecidos.

Uma forma alternativa de encontrar a área é utilizando as coordenadas dos vértices do triângulo no plano cartesiano. Se conhecemos as coordenadas dos pontos A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3), podemos utilizar a fórmula da determinante para obter a área. Essa fórmula envolve cálculos mais complexos, mas permite encontrar a área mesmo quando não temos informações sobre base e altura.

Além disso, também existe outra maneira de calcular a área chamada “fórmula de Heron”. Nesse caso, utilizamos apenas as medidas dos três lados do triângulo para encontrarmos sua área. Esse método é especialmente útil quando não temos informações sobre ângulos ou alturas.

Os 7 tipos de triângulo

Um triângulo equilátero é aquele que possui os três lados iguais (mesmo comprimento) e, consequentemente, três ângulos internos iguais de 60°. Além do triângulo equilátero, existem outros tipos de triângulos:

– Triângulo escaleno: é aquele em que todos os lados possuem medidas diferentes.

– Triângulo isósceles: possui dois lados com a mesma medida e um lado diferente.

– Triângulo retângulo: tem um ângulo interno reto (90°), formado pela interseção dos dois catetos.

– Triângulo acutângulo: todos os seus ângulos internos são agudos, ou seja, menores que 90°.

– Triâgunglo obtusâgunglo: possui um ânuglo interno obtuso, ou seja, maior que 90°.

Esses são alguns exemplos de classificações para os triãnuglos no plano cartesiano.